표본평균의 분산이 왜 σ²/n 인지 모르겠어요. 단원지에 그냥 그렇다고만 나오는데… 외워야 되나요?
1
단계 1 — 정의 다시 적기
표본평균은 그냥 평균이 아니라 '확률변수'다
2
단계 2 — 분산의 두 성질
독립이면 분산이 더해진다
3
단계 3 — 계산을 한 줄씩
이제 V(X̄)를 직접 풀어보자
표본평균에 분산을 씌워:
$$V(\bar X) = V\!\left(\tfrac{1}{n}\sum X_i\right) = \tfrac{1}{n^2}\,V\!\left(\sum X_i\right)$$
독립이니까 합의 분산은 분산의 합:
$$= \tfrac{1}{n^2}(V(X_1) + \cdots + V(X_n)) = \tfrac{1}{n^2}\cdot n\sigma^2 = \tfrac{\sigma^2}{n}$$
그림 3n이 커질수록 분산이 빠르게 작아짐.
그러니까 $V(\bar X) = \sigma^2/n$ 은 외울 게 아니라 한 줄씩 굴러 나오는 결과야.
학원 메모 · 이루다
이런 식의 "정의 → 성질 → 계산" 순서로 적는 습관 들이자.
3단계까지 따라왔어?
4
단계 4 — 너만의 한 줄 정리