루
표본평균의 분산이 왜 $\sigma^2/n$ 인지 모르겠어요. 단원지 §2.3 보면 그냥 그렇다고 나오는데… 외워야 되나요?
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정의 다시 적기
표본평균은 그냥 평균이 아니라 '확률변수'다
매번 표본을 뽑을 때마다 평균값이 바뀌잖아? 그래서 표본평균 자체가 변수야:
$$\bar X = \frac{1}{n}\bigl(X_1 + X_2 + \cdots + X_n\bigr)$$
여기서 $X_i$ 들은 같은 분포를 가지는 독립인 확률변수. 이 두 단어가 다음 단계 핵심이야.
단원지 §2.1 · p.11
"확률변수 $X_1, \ldots, X_n$ 이 모분포를 따르고 서로 독립일 때, 이를 크기 $n$인 확률표본이라 한다."
정의 OK?
2
분산의 두 가지 성질
독립이면 분산이 더해진다
분산에 대해 우리가 쓸 두 성질:
$$V(aX) = a^2 V(X) \qquad V(X+Y) = V(X) + V(Y) \;\text{(독립일 때)}$$
왼쪽은 상수배, 오른쪽은 독립인 경우 가법성. 이 두 줄만 들고 다음 단계로 가자.
두 성질 기억나?
3
계산 — 한 줄씩
이제 $V(\bar X)$ 를 직접 풀어보자
표본평균에 분산을 씌워:
$$V(\bar X) = V\!\left(\tfrac{1}{n}\sum X_i\right) = \tfrac{1}{n^2}\,V\!\left(\sum X_i\right)$$
독립이니까 합의 분산은 분산의 합:
$$= \tfrac{1}{n^2}\bigl(V(X_1) + V(X_2) + \cdots + V(X_n)\bigr) = \tfrac{1}{n^2}\cdot n\sigma^2 = \tfrac{\sigma^2}{n}$$
그림 3표본 크기 $n$이 커질수록 $V(\bar X)$ 가 모분산 $\sigma^2$ 보다 빠르게 작아진다. "평균을 더 많이 모을수록 흔들림이 줄어든다" 가 직관.
그러니까 $V(\bar X) = \sigma^2/n$ 은 외울 게 아니라 한 줄씩 굴러 나오는 결과야. 다음에 같은 게 또 나오면 이 3단계 그대로 적어보면 돼.
학원 메모 · 이루다
루다, 이런 식의 "정의 → 성질 → 계산" 순서로 적는 습관 들이자. 경계값에서 그림 안 그리는 습관 잡으려면 이 패턴이 약이야.
3단계까지 따라왔어?
4
너만의 한 줄 정리
지금 배운 거 한 문장으로 적기
이번 풀이를 너 입으로 정리하면 어떻게 될까? 두 단어로 답해봐:
"독립이라서 ___ 가 더해지고, $1/n^2$ 때문에 ___ 가 작아진다."
빈칸 둘 채워서 보내봐
이 풀이가 도움이 됐어?
강사 선생님께 보내면 사후에 보충 코멘트가 달릴 수 있어요.